مردِ بزرگی۱ که همیشه در حسرتِ درسها و سرمشقها و از همه بیشتر دوستیِ او خواهم بود، بر این باور بود که حقیقتهای علومِ اخلاقی و سیاسی همان اندازه یقین را برمیتابند که حقیقتهایی که نظامِ علومِ طبیعی را میسازند، و حتی همان اندازه که آن شاخههایی از این علوم که، مانندِ اخترشناسی، به یقینِ ریاضی نزدیک مینمایند.
این عقیده نزدِ او عزیز بود، زیرا به آن امیدِ دلگرمکننده راه میبَرَد که نوعِ بشر ناگزیر به سوی سعادت و کمال پیش خواهد رفت، چنانکه در شناختِ حقیقت پیش رفته است.
این کتاب را برای او آغاز کرده بودم؛ در آن، با سپردنِ پرسشهایی که به منفعتِ عمومی مربوطاند به حساب، میکوشیدم دستِکم با یک نمونه همان عقیدهای را ثابت کنم که او میخواست همهٔ دوستدارانِ حقیقت در آن شریک باشند: با دریغ میدید که بسیاری، از آنرو که یقین داشتند در پرسشهایی از این دست امیدِ رسیدن به حقیقت نیست، تنها به همین دلیل از پرداختن به مهمترین موضوعها سر برمیتافتند.
اگر بشریت به این بدبختی دچار نشده بود که او را زود از دست بدهد — بدبختیای که تا دیرزمانی جبرانناپذیر خواهد ماند — این کتاب کمنقصتر میبود: با روشناییِ اندرزهای او بهتر یا دورتر میدیدم و اصولی را که از آنِ خودِ او میبود با اعتمادِ بیشتری پیش مینهادم [ii]. اکنون که از چنین راهنمایی بیبهرهام، جز این نمیماند که این کار را به یادِ او پیشکش کنم و همهٔ کوششم را به کار بندم تا کمتر ناشایستهٔ دوستیای باشد که مرا بدان سرافراز میکرد.
این رساله سودی بس محدود میداشت اگر تنها به کارِ ریاضیدانان میآمد، که آنان نیز شاید در روشهای محاسبه چیزی درخورِ توجهِ خود نیابند. از اینرو بر آن شدم که گفتاری بر آن بیفزایم و در آن، پس از عرضهٔ اصولِ بنیادیِ حسابِ احتمالات، پرسشهای اصلیای را که کوشیدهام حل کنم و نتیجههایی را که محاسبه مرا بدانها رسانده است بگشایم. خوانندگانی که ریاضیدان نیستند، برای داوری دربارهٔ این اثر تنها به این نیاز دارند که آنچه را محاسبه ثابتشده عرضه میکند درست بینگارند.
نزدیک به همهجا نتیجههایی خواهند یافت هماهنگ با آنچه سادهترین عقل نیز حکم میکرد؛ اما آشفتنِ عقل با مغالطهها و باریکبینیهای بیهوده چندان آسان است که خود را خوشبخت خواهم شمرد اگر کاری جز این نکرده باشم که یک حقیقتِ سودمند را به اعتبارِ برهانی ریاضی پشتیبانی کرده باشم.
از میانِ شمارِ بسیارِ موضوعهای مهمی که محاسبه را میتوان بر آنها به کار بست، بررسیِ احتمالِ تصمیمهایی را برگزیدم که به اکثریتِ آرا گرفته میشوند: این موضوع را کسی نپرداخته است، دستِکم نه با گستردگی و جزئیاتی که سزاوارِ آن است، و به نظرم رسید که نیرویی بیش از نیروی من نمیطلبد، حتی برای آنکه با گونهای سودمندی پرداخته شود.
[۱] آقای تورگو.
هنگامی که رسمِ تسلیمِ همهٔ افراد به ارادهٔ شمارِ بیشتر در جامعهها رواج یافت و آدمیان بر آن شدند که تصمیمِ اکثریتِ آرا [iii] را ارادهٔ مشترکِ همگان بشمارند، این روش را همچون وسیلهای برای پرهیز از خطا و رفتار بر پایهٔ تصمیمهایی مبتنی بر حقیقت برنگزیدند؛ بلکه دریافتند که برای آسایش و منفعتِ همگانی باید اقتدار را آنجا نهاد که نیرو هست، و چون گریزی نبود از آنکه یک اراده راهبر باشد، طبعاً ارادهٔ شمارِ کمتر میبایست فدای ارادهٔ شمارِ بیشتر شود.
با اندیشیدن در آنچه از ساختارهای سیاسیِ اقوامِ باستان میدانیم، پیداست که آنان بیشتر در پیِ برقراریِ توازن میانِ منافع و شورهای نهادهای گوناگونی بودند که ساختارِ یک دولت را میساختند تا در پیِ آنکه از تصمیمهای ایشان نتیجههایی هماهنگ با حقیقت به دست آورند.
واژههای آزادی و منفعت بیش از واژههای حقیقت و عدالت ذهنِ آنان را مشغول میداشت؛ و پیوندِ این چیزها با یکدیگر، که شاید برخی از فیلسوفانشان آن را دریافته بودند، آنقدر روشن شناخته نبود که پایهٔ سیاست قرار گیرد.
در ملتهای جدید، که در آنها فلسفهٔ مدرسی روحی از استدلال و باریکبینی پدید آورد و این روح اندکاندک بر همهٔ موضوعها گسترد، حتی در میانهٔ سدههای نادانی نیز نشانههایی از این اندیشه دیده میشود که به دادگاهها شکلی داده شود که درستیِ تصمیمهایشان را محتمل سازد.
اتفاقِ آرا که در انگلستان در داوری با هیئتِ منصفه لازم است؛ رسمِ فرانسه در طلبِ اکثریتی به اندازهٔ دو یا سه رأی برای محکوم کردن؛ و بیش از همه این رسم که تصمیمِ دیوانِ روتا تنها آنگاه غیرقابلِنقض شمرده شود که سه داوریِ همسان آن را داده باشند؛ و برخی [iv] رسمهای همانند که در چند دولتِ ایتالیا برقرار بود — همهٔ این نهادها به روزگارانی بسیار پیش از بازگشتِ روشناییها بازمیگردند، و همه گویا از کوششی خبر میدهند برای رسیدن به تصمیمهایی هماهنگ با عقل.
شرایط گویا این را از ما میطلبد. نزدِ باستانیان، یعنی نزدِ رومیان و یونانیان که تنها اقوامیاند که تاریخشان را نیک میشناسیم، کارهای بزرگ یا در مجمعِ عمومیِ شهروندان تصمیم گرفته میشد یا به دستِ نهادهایی که قدرتِ حاکم را قبضه کرده بودند: ارادهٔ آنان، عادلانه یا ناعادلانه، استوار بر حقیقت یا بر خطا، میبایست پشتیبانیِ نیرو را با خود داشته باشد؛ و پیش نهادنِ وسیلههایی برای رام کردنِ ارادهٔ ایشان به عقل، همان بود که زنجیر به آنان پیشنهاد کنی و بر اقتدار یا استقلالشان حد بگذاری.
نزدِ ما برعکس، کارها بیشتر با خواستِ نهادی از نمایندگان یا کارگزاران تصمیم گرفته میشود، خواه از سوی ملت خواه از سوی شهریار. پس به سودِ کسانی است که نیروی عمومی در اختیارِ آنان است که این نیرو را جز در پشتیبانی از تصمیمهای هماهنگ با حقیقت به کار نبرند، و به نمایندگانی که مأمورِ حکم کردن به جای ایشان کردهاند قاعدههایی بدهند که ضامنِ نیکیِ تصمیمهایشان باشد.
اگر تنها با تکیه بر عقل بجوییم که داوریِ مجمعهایی کمشمارتر یا پرشمارتر، تابعِ اکثریتِ لازمِ کم یا زیاد، تقسیمشده در چند نهادِ گوناگون یا گردآمده در یکی، فراهمآمده از مردانی کمروشنبینتر یا روشنبینتر، تا چه اندازه سزاوارِ اعتماد است، درمییابیم که جز به نتیجههایی مبهم نخواهیم رسید، و بارها چنان مبهم که به تردید بینجامند و اگر بیآنکه به حساب سپرده باشیمشان بپذیریمشان، ما را به خطا اندازند.
[v] چنین است که، برای نمونه، بهآسانی درمییابیم که با طلبِ اکثریتِ بزرگتری از یک دادگاه برای محکوم کردنِ متهم، ایمنیِ بزرگتری نیز به دست میآوریم که بیگناهی به کیفرگاه فرستاده نشود: اما عقلِ بیحساب به شما نخواهد آموخت که تا چه مرزی بردنِ این ایمنی سودمند است، و نه اینکه چگونه میتوان آن را با این شرط سازگار کرد که مجرمانِ بسیاری از چنگ نگریزند.
عقل، با اندکی تأمل، ضرورتِ این را حس میکند که دادگاه چنان برساخته شود که محکوم شدنِ حتی یک بیگناه، آن هم در درازنای زمانی طولانی، نزدیک به ناممکن باشد؛ اما نمیآموزد که این احتمال را در چه حدودی میتوان محصور کرد و نه اینکه چگونه میتوان بدان رسید بیآنکه شمارِ قضات را از مرزهایی که گذشتن از آنها بهسختی ممکن است فراتر برد.
همین نمونهها بس است تا سودمندی و — نزدیک است بگویم — ضرورتِ به کار بستنِ حساب در این پرسشها را نمایان کند.
پیش از گزارشِ پژوهشهایم، لازم دیدم که اندکی به تفصیل به اصولِ حسابِ احتمالات بپردازم.
همهٔ این حساب، دستِکم آن بخشی که اینجا ما را به کار میآید، بر یک اصلِ کلیِ یگانه استوار است.
اگر از میانِ شمارِ معیّنی ترکیبِ به یک اندازه ممکن، شمارِ معیّنی رویدادی را پدید آورند و شمارِ دیگری رویدادِ مخالف را، احتمالِ هر یک از این دو رویداد برابر خواهد بود با شمارِ ترکیبهایی که آن را پدید میآورند، تقسیم بر شمارِ کل.
چنین است که، برای نمونه، اگر تاسی ششرویه برداریم و فرض کنیم هر رویه به یک اندازه ممکن است بیاید، چون تنها یک رویه شش خال میدهد و پنج رویهٔ دیگر [vi] خالهای دیگر، ۱/۶ احتمالِ آمدنِ این رویه را بیان میکند و ۵/۶ احتمالِ نیامدنِ آن را.
میبینیم که شمارِ ترکیبهایی که رویدادی را پدید میآورند و شمارِ ترکیبهایی که آن را پدید نمیآورند، رویهم برابرِ شمارِ کلِ ترکیبهاست، و در نتیجه مجموعِ احتمالهای دو رویدادِ نقیض برابرِ واحد است.
حال فرض کنیم یکی از این دو احتمال صفر باشد؛ پس آن دیگری بهتنهایی برابرِ واحد خواهد بود؛ اما احتمال تنها از آنرو صفر است که هیچ ترکیبی نمیتواند رویدادِ متناظر با آن را پدید آورد: پس رویدادِ نقیض، یعنی آنکه احتمالش ۱ است، ناگزیر رخ میدهد؛ پس این رویداد یقینی است.
ناگزیر باید رویدادی یا رخ دهد یا رخ ندهد: پس مسلّم است که یکی از دو رویدادِ نقیض رخ خواهد داد، و مجموعِ احتمالهایشان با ۱ بیان میشود. تمامِ آنچه از این سخن فهمیده میشود که احتمال با کسری بیان میشود و یقین با واحد، همین است.
این اصل برای همهٔ حالتها بس است. در واقع، اگر سه رویداد را در نظر بگیریم که میتوانند از شمارِ معیّنی ترکیبِ ممکن برآیند، احتمالِ نخستین برابر خواهد بود با شمارِ ترکیبهایی که آن را پدید میآورند تقسیم بر شمارِ کلِ ترکیبها؛ و احتمالِ یکی یا دیگری از دو رویدادِ دیگر، برابر با شمارِ ترکیبهایی که رویدادِ نخست را پدید نمیآورند تقسیم بر شمارِ کل. به همین دلیل، احتمالِ رویدادِ دوم برابر خواهد بود با شمارِ رویدادهایی که آن را پدید میآورند تقسیم بر شمارِ کل.
دربارهٔ احتمالِ رویدادِ سوم نیز چنین است، و [vii] مجموعِ احتمالهای سه رویدادی که تنها ممکناند باز برابرِ واحد خواهد بود.
اگر ترکیبها به یک اندازه ممکن نباشند، همین اصل باز بر آنها صادق است. در واقع، ترکیبی که دو برابرِ ترکیبی دیگر ممکن است، چیزی نیست جز دو ترکیبِ برابر و همانند در برابرِ یک ترکیبِ یگانه.
حال این اصلِ نخست را بررسی کنیم. نخست میبینیم که اگر از احتمالِ یک رویداد تنها این را بفهمیم که شمارِ ترکیبهایی که در آنها رخ میدهد تقسیم بر شمارِ کلِ ترکیبهای ممکن است، این اصل چیزی جز حقیقتی تعریفی نیست، و بدینسان حسابی که بر آن استوار است از حقیقتی سختگیرانه برخوردار میشود.
اما به این یک معنا بسنده نمیکنیم.
افزون بر این میفهمیم، ۱. که اگر شمارِ ترکیبهایی را که رویدادی را پدید میآورند و شمارِ ترکیبهایی را که آن را پدید نمیآورند بدانیم و شمارِ نخست بر دومی فزونی داشته باشد، جای آن هست که باور کنیم رویداد رخ خواهد داد، بیش از آنکه باور کنیم رخ نخواهد داد.
۲. اینکه این انگیزهٔ باور همراه با نسبتِ شمارِ ترکیبهای مساعد به شمارِ کل افزایش مییابد.
۳. اینکه به تناسبِ همین نسبت رشد میکند.
درستیِ این گزارهٔ آخر بر درستیِ گزارهٔ دوم و نخست وابسته است. در واقع، اگر انگیزهٔ باور با افزایشِ شمارِ ترکیبها نیرومندتر شود، میتوان ثابت کرد که اگر داوریِ هماهنگ با این عقیده را چند بار تکرار کنیم — یعنی این داوری که رویدادی که ترکیبهای بیشتری به سودِ اوست زودتر از دیگری رخ خواهد داد — محتملترین ترکیب [viii] آن است که در آن نسبتِ شمارِ داوریهای درست به شمارِ کلِ داوریها همان باشد که نسبتِ شمارِ ترکیبهای مساعدِ رویداد به شمارِ کلِ آنهاست؛ یعنی محتملترین ترکیب آن است که در آن نسبتِ شمارِ داوریهای درست به شمارِ کلِ داوریها برابر باشد با آنچه ما احتمالِ رویداد مینامیم. همچنین میتوان ثابت کرد که هرچه داوریها را بیشتر کنیم، محتملتر میشود که این دو نسبت بسیار اندک از یکدیگر دور شوند۲. پس پذیرفتنِ اینکه احتمالِ بزرگتر (این واژه به معنای انتزاعیِ تعریف) انگیزهٔ بزرگتری برای باور است، همان پذیرفتنِ این است که این انگیزهها با احتمالها متناسباند.
با این مقدمات، همینکه بپذیریم که هرگاه شمارِ ترکیبهایی که رویدادی را پدید میآورند بزرگتر از شمارِ ترکیبهایی باشد که آن را پدید نمیآورند، انگیزهای برای باور به رخ دادنِ رویداد داریم، باید بپذیریم که اگر احتمالِ رویدادی دیگر بزرگتر باشد، انگیزهٔ باور نیز بزرگتر خواهد بود.
در واقع، اگر احتمالها برابر باشند، انگیزههای باور برابرند. پس اگر احتمالی معیّن را فرض کنیم و با محاسبه بیابیم که اگر بر پایهٔ انگیزهٔ باورپذیریِ برآمده از آن داوری کنیم، احتمالِ معیّنی خواهیم داشت که در داوریها جز یک بار از هر ده بار به خطا نرویم؛ با به کار بستنِ همان محاسبه بر احتمالی بزرگتر خواهیم یافت که با داوری بر پایهٔ انگیزهٔ [ix] باورپذیریِ برآمده از آن، همان احتمال را خواهیم داشت که تنها یک بار از شمارِ بزرگتری داوری به خطا برویم۳. پس در هر دو حالت احتمالی برابر و انگیزهای برابر خواهیم داشت برای باور به اینکه با داوری بر پایهٔ احتمالِ دوم کمتر به خطا خواهیم رفت تا با داوری بر پایهٔ احتمالِ نخست، و در نتیجه انگیزهای نیرومندتر برای آنکه به داوری بر پایهٔ دومی تصمیم بگیریم. بدینسان درستیِ دومین گزاره از گزارههای پیشین باز بر درستیِ گزارهٔ نخست وابسته است.
پس تنها این میماند که بررسی کنیم آیا هنگامی که احتمالِ یک رویداد (این واژه همواره به معنای انتزاعی) بزرگتر از احتمالِ رویدادِ مخالف است، انگیزهای برای باور به رخ دادنِ رویدادِ نخست داریم یا نه.
بررسیِ این گزاره در حالتی که تفاوتِ این احتمالها بسیار بزرگ است بس خواهد بود؛ زیرا این انگیزه نمیتواند در این حالت برقرار باشد و در حالتی که تفاوت بسیار کوچک است برقرار نباشد، هرچند با نیرویی کمتر.
در واقع، فزونیِ یک احتمال بر دیگری هرچه کوچک باشد، با محاسبه مییابیم که اگر رشتهای از رویدادهای همانند را در نظر بگیریم، میتوان احتمالی بسیار بزرگ به دست آورد که رویدادی که بزرگترِ این دو احتمال به سودِ او بود بیش از دیگری رخ دهد۴. پس بنا بر همین فرض، انگیزهای خواهیم داشت برای باور به اینکه بیش از دیگری رخ خواهد داد، و در نتیجه انگیزهای برای باور به رخ دادنش، بیش از باور به رخ ندادنش.
حال این گزارهٔ نخست را بررسی کنیم، همان که [x] دو گزارهٔ دیگر را به آن فروکاستیم و خودش را نیز به سادهترین اجزایش فروکاستهایم.
[۲] برای این دو برهان، بخشِ سومِ «هنرِ حدس زدن»ِ یاکوب برنولی را ببینید، اثری سرشار از نبوغ و از آنها که بیش از همه دریغ برمیانگیزند که این مردِ بزرگ راهِ ریاضیِ خود را چنین دیر آغاز کرد و مرگ آن را چنین زود گسست.
[۳] این محاسبهای بسیار ساده میطلبد و اشاره به آن بس است.
[۴] این گزاره در همین اثر، صفحههای ۱۴ و ۲۵، اثبات شده است.
رویدادِ آینده برای ما جز رویدادی ناشناخته نیست. کیسهای را فرض کنید که میدانم در آن نود گویِ سفید و ده گویِ سیاه هست، و از من بپرسند احتمالِ بیرون کشیدنِ گویی سفید چقدر است؛ یا گوی را از پیش بیرون کشیده و زیرِ پردهای پوشانده باشند و از من بپرسند احتمالِ آنکه گویی سفید بیرون کشیده شده باشد چقدر است: پیداست که در هر دو حالت پاسخِ من یکی خواهد بود و احتمال برابر است. پس پاسخ خواهم داد که بیرون آمدنِ گویِ سفید محتملتر است؛ با اینهمه، آنچه زیرِ پرده است ناگزیر یا گویی سفید است یا گویی سیاه.
بدینسان انگیزهای که مرا به باورِ سفید بودنِ گوی میبَرد، یا احتمالِ سفید بودنِ آن، همان میماند، خواه مسلّم باشد که گوی سفید است خواه مسلّم باشد که سیاه است، و هرچند یکی یا دیگری از این دو واقعیت بتواند برای فردی دیگر یقینی باشد؛ و در این حالت احتمالی برابر برای سفیدیِ گوی و انگیزهای برابر برای باور به سفیدیِ آن دارم، چه آنگاه که این واقعیت یقینی است و چه آنگاه که بهیقین نادرست است.
پس هیچ پیوندِ بیواسطهای میانِ این انگیزهٔ باور و حقیقتِ واقعیتی که موضوعِ آن است در کار نیست؛ و هیچ پیوندی میانِ احتمال و واقعیتِ رویدادها نیست.
برای شناختِ سرشتِ این انگیزه، همین بس که ببینیم همهٔ دانشهای ما دربارهٔ رویدادهای طبیعیای که به حسِ ما درنیامدهاند، دربارهٔ رویدادهای آینده — یعنی همهٔ آن دانشهایی که رفتار و داوریهای ما را در درازنای زندگی راه میبرند — بر این دو اصل استوارند: که طبیعت از قوانینی تغییرناپذیر پیروی میکند، و اینکه [xi] پدیدههای مشاهدهشده این قوانین را به ما شناساندهاند. تجربهٔ پیوستهٔ اینکه واقعیتها با این اصول هماهنگاند، برای ما یگانه انگیزهٔ باور به آنهاست. حال اگر میشد همهٔ واقعیتهایی را که مشاهدهٔ آنها ما را به باورِ این دو گزاره رسانده است گرد آورد، محاسبه به ما میآموخت که با دقت تعیین کنیم احتمالِ درست بودنشان چقدر است۵.
راستش را بخواهید نمیتوانیم این دادهها را گرد آوریم، و تنها میبینیم که محاسبه ما را به احتمالی بسیار بزرگ میرساند: اما این تفاوت چیزی از سرشتِ انگیزهٔ باور دگرگون نمیکند، که در هر دو حالت یکی است.
بدینسان انگیزهٔ باور به اینکه از میانِ ده میلیون گویِ سفید که یک گویِ سیاه در آنها آمیخته است، در نخستین کشیدن گویِ سیاه را بیرون نخواهم کشید، از همان سرشتِ انگیزهٔ باور به این است که خورشید فردا از برآمدن باز نخواهد ماند؛ و این دو عقیده جز در کم و بیشِ احتمال با هم تفاوتی ندارند.
اگر به دو مردِ ششپایی بنگرم، یکی در فاصلهٔ دوازده پا و دیگری در فاصلهٔ بیستوچهار پا، آن دو را هماندازه میبینم؛ و با اینهمه اگر نمیتوانستم بر پایهٔ فاصله و شکل و درجهٔ روشنی یا نورِ تصویرشان هیچ داوریای بسازم، یکی دو برابرِ دیگری به نظرم میآمد. پس انگیزهٔ من در برابر شمردنِ آن دو چیست؟ این است که تجربهای پیوسته به من آموخته است که با وجودِ نابرابریِ تصویرهایشان، اجسامی که بدینسان و در همین شرایط دیده میشوند محسوساً برابرند. پس این داوری بر احتمالی ساده استوار است: انگیزهٔ باوری که از احتمال زاده میشود [xii] آنقدر نیرو دارد که ناخواسته و مقاومتناپذیر شود؛ چنانکه داوریِ صادرشده بر پایهٔ این انگیزه یکسره با خودِ احساس درآمیزد.
[۵] بخشِ سومِ همین اثر را ببینید.
در این نمونه، آنچه را این انگیزه ما را به باورش میبَرد میبینیم، و جز آن نمیتوانیم دید.
اگر گویِ کوچکی را میانِ دو انگشتِ رویهمرفته بغلتانم، دو گوی حس میکنم، هرچند بیش از یکی در کار نیست؛ و این از آنروست که پیوسته آزمودهام که هرگاه این احساس را همزمان در دو سوی مقابلِ دو انگشت آزمودهام، دو جسمِ گِرد در کار بوده است. پس اینجا نیز داوریای در کار است استوار بر احتمالی که تجربه پدید آورده و به احساسی ناخواسته بدل شده است: با اینهمه، با وجودِ این احساس، به نیروی احتمالی بزرگتر داوری میکنم که جز یک جسم در کار نیست، و این داوری بر آن نخستین چیره میشود، هرچند عادت نتوانسته است آن را به احساس بدل کند.
باورِ به خودِ وجودِ اجسام نیز، به انگیزهای همانند، جز بر احتمالی استوار نیست. در واقع، اندیشهٔ این وجود برای ما تنها همین باورِ راسخ است که نظامِ احساسهایی که در لحظهای در ما برانگیخته میشوند، در شرایطِ همانند پیوسته به همانگونه بازخواهند نمود، یا با تفاوتهایی معیّن که پیوسته به دگرگونیِ شرایط بستهاند۶. پس این باورِ راسخ به وجودِ اجسام جز بر اعتماد به نظمِ پدیدهها استوار نیست، نظمی که تجربههای مکرر آن را به ما شناساندهاند: پس انگیزهٔ باور به این وجود یکسره از همان سرشتی است که انگیزهٔ برآمده از احتمال دارد.
[xiii] اگر اکنون بپرسند که یقینِ یک برهانِ ریاضی چیست، پاسخ خواهم داد که آن نیز از همین سرشت است.
در واقع فرض میکنم، برای نمونه، که در این برهان فرمولِ دوجملهای را به کار میبرم؛ پیداست که حتی با فرضِ یقینِ تمام به درستیِ برهانم، تنها بر پایهٔ خاطرهٔ شنیدن و دنبال کردنِ برهانِ آن است که فرمولِ دوجملهای را درست میدانم. حال اگر این خاطرهٔ نیکیِ آن برهان اکنون برای من انگیزهٔ باور است، تنها از آنروست که تجربه به من نشان داده است که اگر یک بار حقیقتی را بر خود ثابت کرده باشم، هر بار که بخواهم برهانش را دنبال کنم پیوسته همان حقیقت را باز خواهم یافت. پس این نیز انگیزهٔ باوری است استوار بر تجربهٔ گذشته، و در نتیجه بر احتمال.
پس بهدقت که بنگریم، یقینِ راستین تنها آن است که از بداهتِ شهودی زاده میشود، یعنی یقین به گزارهای که به درستیاش آگاهی داریم؛ یا در استدلالی پیوسته، یقین به روا بودنِ هر نتیجه با فرضِ درستیِ اصل، اما نه یقین به خودِ نتیجه، چرا که درستیِ این نتیجه به گزارههایی وابسته است که دیگر به درستیِ آنها آگاهی نداریم. پس انگیزهٔ باور به این نتیجه یکسره بر احتمال استوار است.
با اینهمه میانِ حقیقتهایی که یقینی تمام دارند و دیگر حقیقتها تفاوتی هست که یادآوریاش ضروری است.
[۶] مدخلِ «وجود» در دائرةالمعارف را ببینید، که این موضوع در آن با ژرفا و روشنیِ بسیار پرداخته شده است.
دربارهٔ دستهٔ نخست، تنها ناگزیریم یک فرض را بپذیریم که بر احتمال استوار است: اینکه چون خاطرهٔ [xiv] آگاهی داشتن به درستیِ یک گزاره هرگز ما را نفریفته است، همین خاطره در موردی تازه نیز ما را نخواهد فریفت. اما دربارهٔ دستهٔ دیگر، انگیزهٔ باور نخست بر همین اصل استوار است و سپس بر گونهٔ احتمالی که ویژهٔ هر موضوع است. امکانِ خطا به چند علتِ درهمآمیخته بسته است. اگر آن را برای هر یک برابر فرض کنیم، محاسبه نشان خواهد داد که اگر دو علت در کار باشد بیش از دو برابر، و اگر سه علت باشد بیش از سه برابر خواهد بود، و به همین ترتیب. بدینسان نامِ یقینِ ریاضی را به احتمالی میدهیم که بر اعتماد به قوانینِ مشاهدهشده در کارکردهای فهمِ ما استوار باشد. یقینِ فیزیکی آن احتمالی را مینامیم که افزون بر این، همین پیوستگی را در نظمی از پدیدههای مستقل از ما فرض کند؛ و نامِ احتمال را برای داوریهایی نگاه میداریم که افزون بر این در معرضِ سرچشمههای دیگرِ تردیدند.
اگر اکنون انگیزهٔ باور به حقیقتهایی را که تازه بررسی کردیم با انگیزهٔ باور بر پایهٔ احتمالی محاسبهشده بسنجیم، جز سه تفاوت نخواهیم یافت؛ نخست آنکه در گونههای حقیقتی که بررسی کردیم، احتمال تعیینناپذیر است و تقریباً همیشه چنان بزرگ که محاسبهاش زائد میبود؛ دوم آنکه چون در درازنای زندگی خو کردهایم داوریهامان را بر این احتمال بنا کنیم، این داوریها را بیاندیشیدن به سرشتِ انگیزهای که آنها را تعیین میکند میسازیم، حال آنکه در پرسشهایی که به حسابِ احتمالات سپرده میشوند، توجهِ خود را بر آن نگاه میداریم: در حالتِ نخست بیآنکه بدانیم به گرایشی ناخواسته تن میدهیم؛ در حالتِ دوم به انگیزهای که این گرایش را تعیین میکند آگاهیم: سوم آنکه در حالتِ نخست تنها میتوانیم بدانیم که انگیزههای باورِ کموبیش نیرومندی داریم، حال آنکه در حالتِ دوم میتوانیم نسبتهای این انگیزههای گوناگون را به عدد بیان کنیم [xv]. همین شرحِ ساده ما را بس است تا سرشتِ انگیزهٔ باورِ برآمده از احتمالِ محاسبهشده و همهٔ گسترهٔ سودمندیِ این حساب را دریابیم، چرا که به کارِ ما میآید تا انگیزههای عقایدمان را در همهٔ مواردی که چنین سنجشی میتواند سودمند باشد بهدقت بسنجیم.
در بررسیِ احتمالِ تصمیمهایی که به اکثریتِ آرا گرفته میشوند، باید دو گونه تصمیم را از هم بازشناخت: در گونهٔ نخست، تصمیم پذیرفته میشود، هر اکثریتی که آن را ساخته باشد.
در این حالت اگر شمارِ رأیدهندگان فرد باشد، ناگزیر تصمیمی هست. اگر زوج باشد، تنها حالتِ تساوی است که در آن تصمیمی در کار نیست.
چنین مینماید که این شیوهٔ تصمیمگیری تنها بر پرسشهایی باید به کار رود که گرفتنِ موضعی در آنها ضروری است؛ بر آنها که زیانهای خطا در آنها برابر است، هر موضعی که برگزیده شده باشد، و در همان حال کمتر از زیانِ به تعویق انداختنِ تصمیم است.
در گونهٔ دومِ تصمیمها، آنها را تنها آنگاه صادرشده میشمارند که اکثریتی معیّن به سودشان باشد. اگر این اکثریت فراهم نشود، یا تصمیم را به تعویق میاندازند، چون داوری میکنند که انتظار بهتر از خطرِ گرفتنِ موضعی بد است؛ یا یکی از دو موضع را برمیگزینند، خواه از آنرو که داوری میکنند خطرِ به خطا رفتن در پیرویِ از آن بهتر از تعویقِ تصمیم است، خواه از آنرو که موضعِ مخالف را نمیتوان [xvi] به عدالت پذیرفت مگر آنکه احتمالِ بزرگی داشته باشیم که این موضع با حقیقت هماهنگ است.
برای نمونه فرض میکنم که به مجمعی پیشنهاد شود تصمیم بگیرد که آیا وضعِ قانونی تازه بجاست یا نه؛ میتوان بر آن بود که چون قانون تنها آنگاه سودمند است که با عقل هماهنگ باشد، باید اکثریتی چنان طلبید که احتمالِ بسیار بزرگی از درستیِ تصمیم به دست دهد، و اینکه هیچ قانونی نساختن بهتر از ساختنِ قانونی بد است.
حتی میتوان آنگاه — و گویا عدالت این را میطلبد — میانِ قوانینی که آدمیان را به برخورداری از حقوقِ طبیعیشان بازمیگردانند، قوانینی که بر این حقوق بند مینهند، و سرانجام قوانینی که، دستِکم اگر چنین چیزی بتواند وجود داشته باشد، به نظر میرسد نه بر اِعمالِ آزادیِ طبیعی میافزایند و نه از آن میکاهند، تفاوت گذاشت. در حالتِ نخست، اکثریتِ ساده باید بس باشد؛ چنین مینماید که برای قوانینی که بر اِعمالِ حقوقِ طبیعیِ انسان حد مینهند باید اکثریتِ بزرگی طلبید، زیرا دستدرازی به این حقوق هرگز نه عادلانه میتواند بود و نه مشروع، مگر آنکه اطمینانِ نیرومندی۷ در کار باشد که اِعمالِ این حقوق از سوی کسانی که آنها را از ایشان میگیرند، به خودشان زیان میرساند. سرانجام در حالتِ سوم، میتوان میانِ بیمِ به تأخیر انداختنِ دگرگونیهای سودمند — اگر اکثریتِ بیش از اندازه نیرومندی طلبیده شود — و بیمِ گرفتنِ موضعی بد — اگر به اکثریتی بیش از اندازه ضعیف بسنده شود — سنجید. اینجا فرض کردهایم که در پارهای موارد بتوان محدود کردنِ [xvii] اِعمالِ حقوقِ طبیعی یا ادامهٔ تعلیقِ پیشاپیش اعلامشدهٔ آنها را سودمند شمرد؛ اما این تنها فرضی است برای به دست دادنِ نمونهای، نه آنکه ما این عقیده را بپذیریم، بهویژه برای قانونگذاریای دائمی.
بهطورِ کلی، چون در قانونی که به اتفاقِ آرا به تصویب نرسیده است سخن بر سرِ تسلیم کردنِ آدمیان به عقیدهای است که از آنِ آنان نیست، یا به تصمیمی که آن را خلافِ منفعتِ خود میدانند، احتمالِ بسیار بزرگِ درستیِ این تصمیم یگانه انگیزهٔ معقول و عادلانهای است که بر پایهٔ آن بتوان چنین تسلیمی را از ایشان طلبید.
اگر دادگاهی را در نظر بگیریم که مأمورِ صدورِ حکم در امورِ کیفری است، در نگاهِ نخست حس میکنیم که روا نیست پشتیبانیِ نیروی عمومی به این احکام داده شود، آنگاه که متهمی را محکوم میکنند، مگر آنکه از شکلِ دادگاه اطمینانی نهایی برآید که متهم مجرم است، و مگر آنکه این اطمینان حتی برای کسانی برقرار باشد که از حکم جز ساختارِ دادگاه چیزی نمیدانند، یا جز این ساختار و اکثریتی که حکم به آن صادر شده است: آن تکلیفی که بر هر انسانی نهاده شده است تا از ستمدیدهٔ بینوا دفاع کند — تکلیفی که از آن حقی راستین برای بهجا آوردنش برمیخیزد — جز در برابرِ اطمینان به اینکه این ستمِ ظاهری عدالتی واقعی است، تسلیم نمیشود.
این اکثریت، بزرگتر از اکثریتِ یک رأی، حتی برای احکامِ مدنی نیز میتوانست طلبیده شود، برای نمونه در مواردی که مرورِ زمان پذیرفته میشود. در واقع، انگیزهٔ آسودهتر کردنِ متصرفان — این آسودگی هرچه برای خیرِ عمومی سودمند باشد — برای مشروع کردنِ دستدرازی به حقِ مالکیت بس نیست.
[۷] در دنبالهٔ این گفتار واژهٔ اطمینان را برای نامیدنِ آن گونه از احتمال به کار خواهیم برد که در مکاتب آن را یقینِ اخلاقی مینامند، تا از واژهٔ یقین که میتواند دووجهی باشد بپرهیزیم.
بدینسان مرورِ زمان تنها با این فرض بهدقت عادلانه است که [xviii] پس از شمارِ معیّنی سال، احتمالِ اینکه متصرفِ کنونی دیگر در وضعی نیست که اسنادِ اصلیِ مالکیتِ خود را ارائه کند، بر احتمالِ اینکه مالکِ راستین اینهمه سال در پیگیریِ حقوقِ خود کوتاهی کرده باشد بچربد. تصرفِ دیرپا به سودِ کسی که از آن برخوردار بوده است ظنِّ نیرومندی پدید میآورد که تصرفش مشروع است؛ تا زمانی که حقِ مخالفِ بهخوبی اثباتشدهای در کار نباشد، حقی میسازد؛ اما هر جا مالکیتی قانونی وجود دارد، ناعادلانه خواهد بود که به تصرف نیرویی بیش از این داده شود.
با اینهمه به تصرفِ دیرپا تنها آنگاه باید تاخت که احتمالِ بسیار بزرگی هست که نامشروع است. پس میشد، بهجای برقرار کردنِ مرورِ زمانِ مطلقِ سیساله برای نمونه، برای این مرورِ زمانِ مطلق مهلتی بسیار دورتر تعیین کرد؛ اما مقرر داشت که حکمی که کسی را با مرورِ زمانی کمتر — سیساله برای نمونه — محکوم کند، تنها در صورتی اجرا شود که اکثریتِ شمارِ معیّنی رأی را داشته باشد: وگرنه مال نزدِ متصرف میماند، حتی اگر اکثریتی کمتر بر ضدِ او باشد.
این قانونگذاری برتریِ بزرگی میداشت: اینکه بتوان بسته به مدتهای گوناگونِ تصرف، اکثریتِ کموبیش بزرگی طلبید؛ و شاید این تنها راهِ آشتی دادنِ آسودگیِ متصرفان با ایمنیِ مالکیتها باشد.
چهار نکتهٔ اساسی هست که دربارهٔ احتمالِ تصمیمها باید در نظر گرفت.
۱. احتمالِ اینکه مجمعی تصمیمِ نادرستی صادر نخواهد کرد.
۲. احتمالِ اینکه تصمیمِ درستی صادر خواهد کرد.
۳. احتمالِ اینکه تصمیمی، درست یا نادرست، صادر خواهد کرد. [xix]
۴. احتمالِ تصمیم، آنگاه که آن را صادرشده فرض کنیم، یا آنگاه که افزون بر این فرض کنیم میدانیم به چه اکثریتی صادر شده است.
در واقع، بهآسانی میتوان دید، ۱. که شکلی از تصمیمگیری خطرناک است اگر برای هر رأیگیری بسیار محتمل نباشد که از آن تصمیمِ نادرستی برنخواهد آمد.
۲. اینکه باید در پیِ شکلی بود که بتواند احتمالِ بزرگی از داشتنِ تصمیمِ درست به دست دهد؛ وگرنه برتریِ نترسیدن از تصمیمِ نادرست تنها از آنجا برمیخاست که بسیار محتمل باشد هیچ تصمیمی در کار نباشد؛ و این زیانِ بس بزرگی است، چرا که بسته به گونهٔ موضوعهایی که دربارهٔ آنها تصمیم گرفته میشود، مجمعِ حکمکننده را تا حدِ زیادی از برآوردنِ مقاصدی که برای آنها بنیاد نهاده شده است بازمیدارد.
نکتهٔ سوم به دو نکتهٔ نخست وابسته است. در واقع، اگر احتمالِ بزرگی برای داشتنِ تصمیمِ درست داشته باشیم و در همان حال احتمالِ بسیار بزرگی برای نداشتنِ تصمیمِ نادرست، پیداست که احتمالِ داشتنِ تصمیمی نادرست یا درست به احتمالِ نخست نزدیک میشود و از آن فراتر میرود. شرطِ چهارم بحثِ بیشتری میطلبد. نخست لازم است که احتمالِ بزرگی داشته باشیم که تصمیم با حقیقت هماهنگ است، آنگاه که میدانیم تصمیمی در کار هست. این شرط نیز به دو شرطِ نخست وابسته است؛ زیرا اگر احتمالِ داشتنِ تصمیمِ درست بزرگ باشد و خطرِ داشتنِ تصمیمِ نادرست بسیار کوچک، پیداست که همینکه بدانیم تصمیمی هست، بسیار محتمل میشود که این تصمیم با حقیقت هماهنگ باشد. نباید احتمالِ داشتنِ تصمیمِ درست را با احتمالِ اینکه تصمیمی که صادرشده فرض میکنیم با حقیقت هماهنگ است اشتباه گرفت: نخستین نهتنها با [xx] احتمالِ داشتنِ تصمیمِ نادرست ناسازگار است، بلکه با احتمالِ نداشتنِ هیچ تصمیمی نیز؛ دومی تنها با احتمالِ داشتنِ تصمیمِ نادرست ناسازگار است. برای نخستین باید شمارِ حالتهایی را که تصمیم در آنها درست است با شمارِ همهٔ حالتهای ممکن سنجید؛ برای دومی باید همین شمارِ نخست را تنها با شمارِ کلِ حالتهایی سنجید که در آنها تصمیمی هست. نخستین، برای نمونه، احتمالِ آن است که متهمی مجرم محکوم خواهد شد؛ دومی احتمالِ آن است که متهمی محکوم مجرم است. اما افزون بر این باید شرطِ دیگری را نیز طلبید، و باید چنان باشد که اگر بدانیم تصمیمی هست و بدانیم به چه اکثریتی صادر شده است، احتمالِ کافی از درستیِ آن تصمیم داشته باشیم. دلیلش را در بالا گفتیم. این اطمینان، برای نمونه، هر بار که سخن بر سرِ کیفر دادنِ متهمی است ضروری است؛ وگرنه چنین پیش میآمد که مردی که به اکثریتی محکوم شده که این اطمینان را به دست نمیدهد، کیفر ببیند در حالی که بسیار کم محتمل است که این مرد مجرم باشد. بدینسان در همهٔ مواردی که دیدیم شایسته است اکثریتی تعیین شود که زیرِ آن باید از خواستِ اقلیت پیروی کرد یا کار را تصمیمنگرفته شمرد، باید این اکثریتِ کمتر چنان باشد که احتمالی از آن برآید که گمان بردهایم باید در تصمیم طلبید.
بس نخواهد بود که بسیار محتمل باشد حالتی که در آن اکثریت برای دادنِ اطمینانِ خواستهشده بیش از اندازه کوچک است پیش نیاید، و این به دو دلیل؛ نخست، زیرا اگر این رویدادِ بسیار نامحتمل رخ دهد — که همیشه ممکن است — ناگزیر میشویم بر پایهٔ تصمیمی کماحتمال رفتار کنیم، و آن را چنین نیز بشناسیم. بیگمان در همهٔ نظامهای [xxi] اکثریت در معرضِ پذیرفتنِ تصمیمی نادرستیم، اما این آنگاه است که احتمالِ بزرگی هست که تصمیم درست باشد؛ حال آنکه هیچ انگیزهٔ معقولی برای تن دادن به تصمیمی نمیتواند در کار باشد، آنگاه که برای تن دادن به آن باید اطمینانی راستین از درستیِ آن داشت و برعکس احتمالِ آن بسیار کوچک است. دلیلِ دوم آن است که این زیان از سرشتِ چیزها برنمیخیزد، بلکه از شکلی که برگزیدهایم. چنین است که، برای نمونه، کیفر دادنِ مردی ناعادلانه نیست، هرچند ممکن است قضاتِ او در مجرم شناختنش به خطا رفته باشند؛ و ناعادلانه خواهد بود که کیفرش دهیم آنگاه که جز اکثریتی بر ضدِ او نیست که اطمینانِ کافی از جرمِ او به دست نمیدهد.
در حالتِ نخست، با داوری بر پایهٔ احتمالی که هنوز در معرضِ خطا مینهد ناعادل نیستیم، زیرا در سرشتِ ماست که جز بر پایهٔ چنین احتمالهایی نتوانیم داوری کرد: در حالتِ دوم ناعادل خواهیم بود، زیرا خود را به خواستِ خویش در معرضِ کیفر دادنِ مردی نهادهایم بیآنکه اطمینانی از جرمِ او داشته باشیم. در حالتِ نخست، به هنگامِ کیفر دادن، احتمالِ بسیار بزرگی از عادلانه بودنِ هر عمل بهتنهایی داریم: در حالتِ دوم، میدانیم که در آن عملِ خاص بیعدالتی میکنیم.
چون این اصول برقرار شد، سخن بر سرِ به کار بستنِ حساب بر شکلهای گوناگونِ تصمیمگیری و بر فرضهای گوناگونِ اکثریت است. برای این کار، نخست مجمعها را فراهمآمده از رأیدهندگانی فرض میکنیم که درستیِ ذهن و روشنبینیِ برابر دارند: فرض میکنیم که هیچیک از رأیدهندگان بر آرای دیگران نفوذی ندارد و همه با حسنِ نیت نظر میدهند. سپس، با فرضِ اینکه احتمالِ [xxii] هماهنگ بودنِ رأیِ هر رأیدهنده با حقیقت، شکلِ تصمیم، فرضِ اکثریت و شمارِ رأیدهندگان را میدانیم، در پیِ اینها میگردیم: ۱. احتمالِ نداشتنِ تصمیمی مخالفِ حقیقت؛ ۲. احتمالِ داشتنِ تصمیمی درست؛ ۳. احتمالِ داشتنِ تصمیمی درست یا نادرست؛ ۴. احتمالِ اینکه تصمیمی که میدانیم صادر شده است بیشتر درست باشد تا نادرست؛ و سرانجام احتمالِ تصمیمی که به اکثریتِ معلومی صادر شده است. موضوعِ بخشِ نخست همین است.
در بخشِ دوم برعکس، یکی از این عناصر را معلوم فرض میکنیم و در پیِ یکی از این سه چیز میگردیم: فرضِ اکثریت، یا شمارِ رأیدهندگان، یا احتمالِ رأیِ هر رأیدهنده، با در نظر گرفتنِ دو تای دیگر همچون داده.
تا اینجا گاه احتمالِ رأیِ هر رأیدهنده و گاه احتمالِ تصمیمِ گرفتهشده را از وجوهِ گوناگون معلوم فرض کردهایم. افزون بر این گفتیم که باید در پیِ اطمینان بود، ۱. از نداشتنِ تصمیمی مخالفِ حقیقت، ۲. از داشتنِ تصمیمی که، آنگاه که میدانیم تصمیم صادر شده است، بیشتر درست باشد تا نادرست؛ و اینکه به همان اندازه باید احتمالِ بزرگی از داشتنِ تصمیمِ درست داشت؛ و سرانجام اینکه در شمارِ بسیاری از موقعیتها باید اطمینانِ کافی از درستیِ تصمیم داشت، حتی آنگاه که با دانستنِ اکثریتی که تصمیم به آن صادر شده است، میدانیم این اکثریت کمترینِ ممکن است.
حال، چگونه احتمالِ رأیِ هر رأیدهنده یا احتمالِ تصمیمِ یک دادگاه را بشناسیم؛ چگونه احتمالی را که میتوان اطمینانی راستین شمرد، یا احتمالی را که میتوان در موارد دیگر [xxiii] کافی شمرد، تعیین کنیم. موضوعِ بخشِ سوم همین است.
در بخشِ چهارم دگرگونیهایی را بررسی میکنم که این چیزها میتوانند در نتیجههای بهدستآمده در بخشِ نخست پدید آورند: نابرابریِ روشنبینی یا درستیِ ذهنِ رأیدهندگان، این فرض که احتمالِ آرای آنان ثابت نیست، نفوذی که یکی از ایشان میتواند بر دیگران داشته باشد، بدنیتیِ برخی، رسمِ فروکاستنِ آرای چند قاضی به یک رأی آنگاه که همداستاناند، و سرانجام کاهشِ احتمالی که رأیِ رأیدهندگان باید از سر بگذراند آنگاه که دادگاهی که نخستین تصمیمش به اکثریتِ لازم صادر نشده است، دوباره دربارهٔ همان پرسش رأی میدهد و سرانجام آن را با آن اکثریت تصمیم میگیرد.
این پژوهشهای اخیر برای آنکه بتوان نظریه را بر عمل به کار بست ضروری بودند.
سرانجام بخشِ پنجم کاربستِ اصولی را در بر خواهد داشت که در بخشهای نخست عرضه شدهاند، بر چند نمونه، مانندِ برقرار کردنِ یک قانون، یک انتخابات، داوریِ یک متهم، و تصمیمی که دربارهٔ مالکیت صادر میشود.
[lvi] یک نمونهٔ واپسین باقی میماند: موردِ انتخاباتی میانِ سه نامزد که آنان را A، B و C مینامیم.
نخست روشن است که هر که رأی به A میدهد، این دو گزاره را بیان میکند:
A از B بهتر است،
A از C بهتر است؛
هر که به B رأی میدهد، این دو گزاره را:
B از A بهتر است،
B از C بهتر است؛
و هر که به C رأی میدهد، این دو گزاره را:
C از A بهتر است،
C از B بهتر است.
پس در اینجا سه دستگاه از گزارههای نقیض داریم:
A، A از B بهتر است،
N، B از A بهتر است،
a، A از C بهتر است،
n، C از A بهتر است،
α، B از C بهتر است،
ν، C از B بهتر است؛
و این هشت ترکیب پدید میآورد که از نظرِ ریاضی ممکناند:
(I) Aaα، (II) Aaν، (III) Anα، (IV) Anν، (V) Naα، (VI) Naν، (VII) Nnα، (VIII) Nnν.
از این ترکیبها، نخستین، که از سه گزارهٔ Aaα ساخته شده است، یعنی A از B بهتر است، [lvii] A از C بهتر است، B از C بهتر است، خواستی به سودِ A میسازد.
دومین، که از سه گزارهٔ Aaν ساخته شده است، یعنی A از B بهتر است، A از C بهتر است، C از B بهتر است، باز هم خواستی به سودِ A را در بر دارد.
سومین، که از سه گزارهٔ Anα ساخته شده است، یعنی A از B بهتر است، C از A بهتر است، B از C بهتر است، آشکارا چنان است که از هر دوتای این سه گزارهای که آن را میسازند، نتیجهای مخالفِ گزارهٔ سوم به دست میآید.
ترکیبِ چهارم، که از گزارههای Anν ساخته شده است، یعنی A از B بهتر است، C از A بهتر است، C از B بهتر است، خواستی به سودِ C را بیان میکند.
پنجمین، که از گزارههای Naα ساخته شده است، یعنی B از A بهتر است، A از C بهتر است، B از C بهتر است، خواستی به سودِ B را بیان میکند.
ششمین، که از گزارههای Naν ساخته شده است، یعنی B از A بهتر است، A از C بهتر است، C از B بهتر است، چنان است که، همچون در سومین، هر دوتای این سه گزارهای [lviii] که آن را میسازند، نتیجهای مخالفِ گزارهٔ سوم را در بر دارند.
ترکیبِ هفتم، که از گزارههای Nnα ساخته شده است،۸ یعنی B از A بهتر است، C از A بهتر است، B از C بهتر است، خواستی به سودِ B را در بر دارد.
ترکیبِ هشتم، که از گزارههای Nnν ساخته شده است، یعنی B از A بهتر است، C از A بهتر است، C از B بهتر است، خواستی به سودِ C را بیان میکند.
پس دو ترکیبِ I و II را به سودِ A خواهیم داشت، دو ترکیبِ V و VII را به سودِ B، دو ترکیبِ IV و VIII را به سودِ C، و سرانجام دو ترکیبِ III و VI را که نتیجهای متناقض به دست میدهند.
[۸] یادداشت مترجم: چاپِ ۱۷۸۵ در اینجا Naα دارد، که هم با فهرستِ هشت ترکیب در دو صفحهٔ پیش ناسازگار است و هم با شرحِ خودِ کوندورسه، چرا که «C از A بهتر است» n است نه a. این لغزشِ حروفچینی است و به Nnα تصحیح شده است.
با این مقدمات، نخست بهآسانی میتوان دید که شیوهٔ بهکاررفته در انتخاباتِ معمول ناقص است. در واقع، هر رأیدهنده تنها به نام بردنِ کسی که او را ترجیح میدهد بسنده میکند: چنین است که در نمونهٔ سه نامزد، آن که به A رأی میدهد خواستِ خود را دربارهٔ ترجیح میانِ B و C بیان نمیکند، و همینطور دیگران. حال آنکه از این شیوهٔ رأی دادن ممکن است تصمیمی به بار آید که در واقع خلافِ اکثریتِ آرا باشد.
برای نمونه فرض کنیم ۶۰ رأیدهنده در کار باشند که ۲۳ تن به سودِ A، ۱۹ تن به سودِ B و ۱۸ تن به سودِ C رأی دادهاند؛ سپس فرض کنیم که آن ۲۳ رأیدهندهٔ A به اتفاقِ آرا تصمیم گرفته باشند که C از B بهتر است؛ که آن ۱۹ رأیدهندهٔ B تصمیم گرفته باشند که C از A بهتر است؛ و سرانجام از آن ۱۸ [lix] رأیدهندهٔ C، ۱۶ تن تصمیم گرفته باشند که B از A بهتر است و تنها ۲ تن که A از B بهتر است.
پس چنین میشد:
۱. ۳۵ رأی برای گزارهٔ «B از A بهتر است» و ۲۵ رأی برای گزارهٔ نقیضِ آن.
۲. ۳۷ رأی برای گزارهٔ «C از A بهتر است» و ۲۳ رأی برای گزارهٔ نقیضِ آن.
۳. ۴۱ رأی برای گزارهٔ «C از B بهتر است» و ۱۹ رأی برای گزارهٔ نقیضِ آن. پس دستگاهِ آن سه گزارهای که اکثریتِ آرا را دارند از این سه گزاره ساخته میشود:
B از A بهتر است،
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
که خواستی به سودِ C را در بر دارد.
افزون بر این، آن دو گزارهای که خواست به سودِ C را میسازند،
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
یکی به اکثریتِ ۳۷ در برابرِ ۲۳ و دیگری به اکثریتِ ۴۱ در برابرِ ۱۹ تصمیم گرفته شدهاند.
آن دو گزارهای که خواست به سودِ B را میسازند،
B از A بهتر است،
B از C بهتر است،
یکی به اکثریتِ ۳۵ رأی در برابرِ ۲۵ و دیگری به اقلیتِ ۱۹ در برابرِ ۴۱ تصمیم گرفته شدهاند.
و سرانجام آن دو گزارهای که خواستی به سودِ A را میسازند،
A از B بهتر است،
A از C بهتر است،
[lx] به اقلیت تصمیم گرفته شدهاند، یکی با ۲۵ رأی در برابرِ ۳۵ و دیگری با ۲۳ رأی در برابرِ ۳۷.
چنین است که آن نامزدی که در واقع خواستِ برآمده از اکثریتِ آرا را با خود دارد، درست همان کسی است که با پیرویِ روشِ معمول کمترین آرا را به دست میآورد.
حال آنکه A، که بنا بر شکلِ معمول بیشترین آرا را میگرفت، برعکس همان کسی از آب درمیآید که در واقعیت از همه دورتر از داشتنِ خواستِ اکثریت بوده است.
پس همینجا میبینیم که باید شکلِ انتخاباتی را که عموماً پذیرفته شده است کنار گذاشت؛ و اگر بنا بر نگه داشتنِ آن باشد، تنها در موردی ممکن است که ناچار نباشیم بیدرنگ انتخاب کنیم و بتوانیم بخواهیم که تنها کسی برگزیده شمرده شود که بیش از نیمی از آرا را گرد آورده باشد. حتی در همین مورد نیز این شکل هنوز این عیب را دارد که ما را در معرضِ آن میگذارد که کسی را برگزیدهنشده بشماریم که در واقع اکثریتِ آرای بسیار بزرگی داشته است.
پس بهطورِ کلی باید به جای این شکل، شکلی را نشاند که در آن هر رأیدهنده، با بیانِ ترتیبی که نامزدها را بر آن اساس میچیند، همزمان دربارهٔ ترجیحی که به هر یک از آنان میدهد رأی دهد.
از این ترتیب، آن سه گزارهای بیرون کشیده میشود که اگر سه نامزد در کار باشد هر نظر را میسازند؛ شش گزاره اگر چهار نامزد باشد، ده گزاره اگر پنج نامزد باشد، و همینطور، با سنجیدنِ آرای به سودِ هر یک از این گزارهها یا گزارهٔ نقیضِ آن. بدین وسیله آن دستگاهِ گزارهها به دست میآید که به اکثریتِ آرا شکل گرفته است، از میانِ ۸ دستگاهِ ممکن برای سه نامزد، ۶۴ دستگاهِ ممکن برای چهار نامزد و ۱۰۲۴ دستگاهِ ممکن برای پنج نامزد؛ و اگر تنها آنهایی را در نظر بگیریم که به تناقض [lxi] نمیانجامند، برای سه نامزد جز ۶ دستگاه ممکن نخواهد بود، برای چهار نامزد ۲۴، برای پنج نامزد ۱۲۰، و همینطور.
اکنون میتوان پرسید که آیا اکثریتِ آرا میتواند به سودِ یکی از این دستگاههای متناقض پدید آید؛ و خواهیم دید که این ممکن است.
در واقع فرض کنیم که در همان نمونهای که پیشتر برگزیدیم، جایی که ۲۳ رأی برای A، ۱۹ برای B و ۱۸ برای C در کار است، آن ۲۳ رأیِ A به سودِ گزارهٔ «B از C بهتر است» باشد؛ این گزاره اکثریتِ ۴۲ رأی در برابرِ ۱۸ خواهد داشت.
سپس فرض کنیم که از آن ۱۹ رأیِ به سودِ B، ۱۷ رأی برای «C از A بهتر است» باشد و ۲ رأی برای گزارهٔ نقیضِ آن؛ این گزارهٔ «C از A بهتر است» اکثریتِ ۳۵ رأی در برابرِ ۲۵ خواهد داشت. و سرانجام فرض کنیم که از آن ۱۸ رأیِ C، ۱۰ رأی به سودِ گزارهٔ «A از B بهتر است» باشد و ۸ رأی به سودِ گزارهٔ نقیضِ آن؛ اکثریتِ ۳۳ رأی در برابرِ ۲۷ به سودِ گزارهٔ «A از B بهتر است» خواهیم داشت. پس دستگاهی که اکثریتِ آرا را به دست میآورد از این سه گزاره ساخته خواهد شد:
A از B بهتر است،
C از A بهتر است،
B از C بهتر است.
این دستگاه همان سومین است، و یکی از آنهایی که به تناقض میانجامند.
پس نتیجهٔ این شکلِ انتخابات را بررسی خواهیم کرد: ۱. با نادیده گرفتنِ این ترکیبهای متناقض، ۲. با در نظر گرفتنِ آنها.
دیدیم که از ۶ دستگاهی که واقعاً ممکناند، ۲ به سودِ A، ۲ به سودِ B و ۲ به سودِ C بود.
[lxii] چنین است که در یکی از نمونههای پیشین، جایی که فرض کردیم از ۶۰ رأی، گزارهٔ
A از B بهتر است،
۲۵ رأی در برابرِ ۳۵ داشت؛ گزارهٔ
A از C بهتر است،
۲۳ رأی در برابرِ ۳۷؛ گزارهٔ
B از C بهتر است،
۱۹ رأی در برابرِ ۴۱: اکثریتِ آرا به سودِ دستگاهِ VIII است، که از این سه گزاره ساخته شده است:
B از A بهتر است،
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
که نخستینِ آنها اکثریتِ ۳۵ رأی در برابرِ ۲۵ را دارد، دومی اکثریتِ ۳۷ رأی در برابرِ ۲۳، و سومی اکثریتِ ۴۱ رأی در برابرِ ۱۹. و بنا بر احتمالِ رأیِ هر رأیدهنده، احتمالِ اینکه این دستگاه با حقیقت مطابق باشد به دست خواهد آمد.
اما دستگاهِ چهارم، که از این گزارهها ساخته شده است،
A از B بهتر است،
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
آن نیز به نتیجهای به سودِ C میرسد؛ و ترکیبِ این دو دستگاه این دو گزاره را به دست میدهد:
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
یکی به اکثریتِ ۳۷ رأی در برابرِ ۲۳ و دیگری به اکثریتِ ۴۱ رأی در برابرِ ۱۹.
حال میپرسیم که آیا باید خواست را به سودِ C دادهشده بشماریم، تنها از آن رو که دستگاهِ آن سه گزارهای که اکثریتِ آرا را دارند [lxiii] این خواست را در بر دارد، یا از آن رو که از سه نتیجهای که شش دستگاه، دوتا دوتا گرفتهشده، به دست میدهند، آن که به سودِ C است محتملتر است.
اگر این نتیجه همیشه یکی میبود، چنانکه در این نمونه هست، این پرسش اهمیتِ چندانی نداشت؛ اما همیشه یکی نیست. در واقع فرض کنیم که از آن ۲۳ رأیِ به سودِ A، ۱۳ رأی این گزاره را پذیرفته باشد:
C از B بهتر است،
و ۱۰ رأی این گزاره را:
B از C بهتر است؛
که از آن ۱۹ رأیِ به سودِ B، ۱۳ رأی این گزاره را پذیرفته باشد:
C از A بهتر است،
و ۶ رأی این گزاره را:
A از C بهتر است؛
و سرانجام آن ۱۸ رأیِ به سودِ C این گزاره را پذیرفته باشد:
B از A بهتر است.
دستگاهی که از اکثریتِ آرا برمیآمد از این سه گزاره ساخته میشد:
B از A بهتر است،
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
که نخستینِ آنها اکثریتِ ۳۷ رأی در برابرِ ۲۳ دارد و دو دیگر اکثریتِ ۳۱ رأی در برابرِ ۲۹؛ و این دستگاه خواستی به سودِ C را در بر دارد.
اما در همین نمونه، نتیجهٔ همهٔ ترکیبهای به سودِ C از این دو گزاره ساخته شده است:
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
[lxiv] که هر یک اکثریتِ ۳۱ رأی در برابرِ ۲۹ دارند؛ حال آنکه نتیجهٔ ترکیبهای به سودِ B از این دو گزاره ساخته شده است:
B از A بهتر است،
B از C بهتر است،
که نخستینِ آنها اکثریتِ ۳۷ رأی در برابرِ ۲۳ دارد و دومی اقلیتِ ۲۹ رأی در برابرِ ۳۱.
حال، احتمالِ هر رأی میتواند چنان باشد که احتمالِ درستیِ این دو گزاره از احتمالِ این گزارهها
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
فراتر رود؛ و چنین مینماید که از آن احتمالی به سودِ B برمیآید، در حالی که با پایبندی به محتملترین دستگاهِ سهگزارهای، تصمیمی به سودِ C در دست داریم.
برای گشودنِ این دشواری خواهیم گفت: ۱. در این مورد روشن است که A نباید ترجیح داده شود، چرا که چه او را با B بسنجیم و چه با C، جز اقلیت را با خود ندارد (و این در همهٔ موردهای مانندِ این رخ میدهد): پس گزینش میانِ B و C باقی میماند. حال آنکه گزارهٔ «B از C بهتر است» اقلیت را دارد؛ پس باید خواستِ برآمده از اکثریتِ آرا را به سودِ C شمرد.
۲. کسی که به سودِ C رأی میدهد چنین استدلال میکند: انگیزهٔ باور دارم که C از A بهتر است؛ انگیزهٔ باور نیز دارم که C از B بهتر است؛ پس باید باور کنم که C هم از A و هم از B بهتر است. برعکس، کسی که به سودِ B رأی میدهد چنین استدلال میکند: انگیزهٔ باور دارم که B از A بهتر است؛ انگیزهٔ باور نیز دارم که C از B بهتر است؛ پس باید [lxv] باور کنم که B از C بهتر است؛ نتیجهای که بیمعنا مینماید.
پس اگر برای ساختنِ تصمیم نه محتملترین دستگاه، بلکه آن نتیجهٔ برآمده از دو دستگاهِ به سودِ یک نامزد را بپذیریم که محتملترین باشد، نتیجهٔ حساب با استدلالِ ساده در تناقض مینماید.
از این گذشته، اگر نتیجهٔ حساب را بررسی کنیم میبینیم که اگر ترکیبِ
B از A بهتر است،
B از C بهتر است،
محتملتر از ترکیبِ
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
باشد، با آنکه این دومی از دو گزارهای ساخته شده است که اکثریتِ آرا را دارند، تنها از آن روست که با پذیرفتنِ دومی، در ترجیح دادنِ C بر A بیشتر به خطا خواهیم رفت تا در اولی با ترجیح دادنِ B بر A.
پس با تفسیر کردنِ خواستِ برآمده از تصمیم به سودِ C بیشتر در معرضِ خطا خواهیم بود تا با تفسیر کردنِ آن به سودِ B؛ اما این تنها از آن روست که در ترجیح ندادنِ A به خطا رفتهایم. پس همین که کنار گذاشتنِ A لازم آید، ترجیح دادنِ C بر B طبیعی است. از آنچه گفته شد برمیآید که باید کاری کرد که مجمعهای عهدهدارِ انتخاب چنان ساخته شوند که کمتر در معرضِ آن باشیم که تنها اکثریتی در دست داشته باشیم که به تصمیمی از گونهٔ آنچه اینجا بحث کردیم بینجامد؛ و این از آن رو بیش از پیش ضروری است که همین که گزارهٔ [lxvi]
C از B بهتر است
اکثریتِ آرا را داشته باشد، گزارهٔ
B از A بهتر است
نمیتواند اکثریتی بزرگتر از گزارهٔ
C از A بهتر است
داشته باشد، مگر آنکه نشانهٔ تردید در آرا باشد.
از سوی دیگر، در موردی که تصمیمی از این گونه در دست داریم، اگر سرشتِ مقامهایی که با انتخابات واگذار میشوند اجازه دهد، باید انتخابات را پایانیافته نشمرد و برای برگزیدنِ C، برای نمونه، خواست که آن دو گزارهٔ
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
همان دو گزارهای باشند که بزرگترین اکثریت را دارند، یا آنکه دستگاهِ
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
اکثریتی بالاتر از ۱/۲ داشته باشد.
در موردی که به انتخاب کردن ناچاریم، از آنجا که بهطورِ کلی نمیتوان از عیبِ این تصمیمها — که میتوان آنها را دوپهلو نامید — گریخت مگر با خواستنِ اکثریتی بزرگ، یا با سپردنِ انتخابات تنها به مردانی بسیار روشنبین، راهِ دوم تنها راهی است که میتوان به کار بست؛ و آنجا که داشتنِ رأیدهندگانِ بهاندازه روشنبین ناممکن است، نباید در شمارِ نامزدها جز مردانی را پذیرفت که تواناییشان چندان محرز باشد که ما را از عیبهای یک انتخابِ بد در امان نگه دارد.
با گرفتنِ این احتیاطها، کسی برگزیده به اکثریتِ آرای رأیدهندگان شمرده میشود که آن دو گزارهای که خواستی به سودِ او میسازند هر یک اکثریتِ [lxvii] آرا را داشته باشند؛ و این همان است که دستگاهِ ساختهشده از سه گزارهای را بپذیریم که اکثریتِ آرا را دارند. وانگهی، این موردِ تصمیمِ دوپهلو نمیتواند رخ دهد مگر آنکه احتمالِ تصمیمِ برآمده از اکثریتِ آرا کمتر از ۷۱/۱۰۰ باشد، که این خود احتمالی بسیار کوچک برای هر رأیدهنده میطلبد.
اکنون فرض کنیم که آن سه گزارهای که اکثریتِ آرا را دارند یکی از دو دستگاهِ متناقض را بسازند؛ اگر انتخاب کردن ضروری نباشد، تصمیم را باطل خواهیم شمرد؛ اما اگر انتخاب کردن ضروری باشد، به تصمیمی گردن مینهیم که از دو گزارهٔ محتملتر برمیآید. زیرا، چنانکه یادآور شدیم، بهآسانی میتوان دید که در این حال هر دوتای این سه گزاره تصمیمی میسازند که با گزارهٔ سوم در تناقض است؛ و برای نمونه در دستگاهِ III، که از این سه گزاره ساخته شده است:
A از B بهتر است،
C از A بهتر است،
B از C بهتر است،
دو گزارهٔ نخست خواستی به سودِ C به دست میدهند، گزارهٔ نخست و سوم خواستی به سودِ A، و گزارهٔ دوم و سوم خواستی به سودِ B. حال، فرض کنیم گزارهٔ «B از C بهتر است» کمترین احتمال را داشته باشد و گزارهٔ «A از B بهتر است» بیشترین را؛ روشن است که این دو گزاره،
B از C بهتر است،
B از A بهتر است،
هر یک احتمالی کمتر از این دو گزاره دارند:
A از B بهتر است،
A از C بهتر است.
پس B باید کنار گذاشته شود؛ اما میانِ A و C، ترجیح [lxviii] با C است، چرا که گزارهٔ
C از A بهتر است
اکثریتِ آرا را دارد.
اگر گزارهٔ
C از A بهتر است
همان باشد که بزرگترین اکثریت را دارد، خواهیم دید که در ترکیبهای
C از A بهتر است،
C از B بهتر است،
B از C بهتر است،
B از A بهتر است،
آن دو گزارهای که ترکیبِ نخست را میسازند، هر یک اکثریتی بزرگتر یا اقلیتی کمتر از آن دو گزارهای دارند که ترکیبِ دوم را میسازند؛ پس C باید بر B ترجیح داده شود؛ و میانِ C و A نیز ترجیح با C است؛ پس خواست باید به سودِ C تفسیر شود.
سرانجام توجه کنیم که این دستگاههای متناقض نمیتوانند پدید آیند مگر آنکه نشانهٔ تردید در آرا باشند؛ و رخ نخواهند داد، نه اگر با گرفتنِ آرا به شیوهٔ معمول یکی از نامزدها بیش از نیمی از آرا را داشته باشد، و نه اگر برای پذیرفتنِ گزارههایی که خواست را میسازند اکثریتی به اندازهٔ یکسوم بخواهیم.
از همهٔ تأملهایی که کردیم این قاعدهٔ کلی برمیآید که هر بار به انتخاب کردن ناچاریم، باید همهٔ گزارههایی را که اکثریتِ آرا دارند یکی پس از دیگری برداشت، از آنها که بزرگترین اکثریت را دارند آغاز کرد، و بر پایهٔ نتیجهای که همین گزارههای نخستین میسازند رأی داد، همین که نتیجهای ساختند، بیآنکه به گزارههای کماحتمالترِ پس از آنها اعتنا شود.
اگر بدین وسیله نتیجهای را که کمتر در معرضِ [lxix] خطاست به دست نیاوریم، یا نتیجهای را که احتمالش بالاتر از ۱/۲ باشد و از دو گزارهٔ محتملتر از نقیضهایشان ساخته شده باشد، دستِکم نتیجهای خواهیم داشت که ما را به پذیرفتنِ کماحتمالترین گزارهها وادار نمیکند و بیعدالتیِ کمتری میانِ نامزدها، دوتا دوتا سنجیده، از آن برمیآید. در بخشِ پنجم به این موضوع بازخواهیم گشت.
آنچه در اینجا آمد جز کوششی بسیار ناتمام در نظریهٔ تصمیمهایی که دربارهٔ گزارههای پیچیده گرفته میشوند و در نظریهٔ انتخابات نیست: از آن برمیآید که برای گرد آوردنِ دو شرطِ اساسیِ هر تصمیم، یعنی احتمالِ اینکه تصمیمی به دست آید و احتمالِ اینکه تصمیمِ بهدستآمده درست باشد، باید ۱. در موردِ تصمیمهایی که دربارهٔ پرسشهای پیچیده گرفته میشوند، کاری کرد که دستگاهِ گزارههای سادهای که آن پرسشها را میسازند بهدقت گشوده شود، هر نظرِ ممکن بهروشنی عرضه گردد، و رأیِ هر رأیدهنده دربارهٔ تکتکِ گزارههایی که آن نظر را میسازند گرفته شود، نه تنها دربارهٔ نتیجه. پس شیوهٔ طرح کردنِ پرسشی که باید دربارهٔ آن تصمیم گرفت بسیار مهم است؛ و بنابراین وظیفهٔ تنظیمِ این پرسش یکی از ظریفترین و دشوارترین وظیفههایی است که نهادِ عهدهدارِ تصمیم، یا کسانی که آن نهاد را برپا کردهاند، میتوانند به کسی بسپارند. با این همه، نزدِ قدما و حتی نزدِ متأخران، این وظیفه تقریباً همهجا به تصادف واگذاشته شده است، یا همچون قدرتی، همچون حقی وابسته به یک مقام داده شده است، نه همچون تکلیفی که تیزهوشی و درستاندیشی میطلبد.
۲. افزون بر این، رأیدهندگان باید روشنبین باشند، و هرچه پرسشهایی که دربارهٔ آنها تصمیم میگیرند پیچیدهتر باشد، روشنبینتر؛ وگرنه شکلی از تصمیمگیری خواهیم یافت که از بیمِ تصمیمِ نادرست در امان میدارد، اما در همان حال [lxx] هر تصمیمی را تقریباً ناممکن میکند و چیزی جز وسیلهای برای جاودانه کردنِ سوءاستفادهها و قانونهای بد نخواهد بود. چنین است که شکلِ مجمعهایی که دربارهٔ سرنوشتِ آدمیان تصمیم میگیرند، برای سعادتِ آنان بسی کماهمیتتر از روشنبینیِ کسانی است که آن مجمعها را میسازند: و پیشرفتِ خرد بیش از شکلِ ساختارهای سیاسی به نیکیِ ملتها یاری خواهد رساند.