دوست عزیزم،
در آنالیز چند چیز تازه یافتهام.
برخی به نظریهٔ معادلات مربوطاند؛ برخی دیگر به توابع انتگرالی.
در نظریهٔ معادلات، جستوجو کردهام که در چه حالتهایی معادلات با رادیکالها حلپذیرند، و همین فرصتی شد تا این نظریه را ژرفتر بکاوم و همهٔ تبدیلهای ممکن بر یک معادله را وصف کنم، حتی آنگاه که با رادیکالها حلشدنی نیست.
با همهٔ اینها میتوان سه رساله فراهم آورد.
رسالهٔ نخست نوشته شده است، و با وجود آنچه پواسون دربارهاش گفت، من — با اصلاحاتی که در آن کردهام — بر آن پای میفشارم.
رسالهٔ دوم کاربردهای نسبتاً جالبی از نظریهٔ معادلات را در بر دارد. چکیدهٔ مهمترین نکتهها چنین است:
۱. بنا بر گزارههای دوم و سوم رسالهٔ نخست، تفاوتی بزرگ دیده میشود میان آنکه به معادلهای یکی از ریشههای یک معادلهٔ کمکی را الحاق کنیم، یا همهٔ آنها را.
در هر دو حالت، گروهِ معادله با این الحاق به گروههایی تقسیم میشود که با یک جانشینیِ واحد از یکی به دیگری میتوان رفت؛ اما این شرط که این گروهها همان جانشینیها را داشته باشند، تنها در حالت دوم است که بهیقین برقرار است. این را تجزیهٔ سره مینامند.
به بیان دیگر، هرگاه گروهی چون G گروه دیگری چون H را در بر داشته باشد، گروه G را میتوان به گروههایی تقسیم کرد که هر یک با اعمالِ یک جانشینیِ واحد بر جایگشتهای H به دست میآید؛ چنانکه
G = H + HS + HS′ + …
و نیز میتوان آن را به گروههایی تقسیم کرد که همگی همان جانشینیها را دارند؛ چنانکه
G = H + TH + T′H + …
این دو گونه تجزیه معمولاً بر هم منطبق نیستند. هرگاه منطبق باشند، تجزیه سره نامیده میشود.
بهآسانی میتوان دید که هرگاه گروهِ یک معادله هیچ تجزیهٔ سرهای نپذیرد، هر چه این معادله را تبدیل کنیم، گروههای معادلات تبدیلشده همواره همان شمار جایگشت را خواهند داشت.
برعکس، هرگاه گروهِ یک معادله تجزیهٔ سرهای بپذیرد، چنانکه به M گروه با N جایگشت تقسیم شود، میتوان معادلهٔ دادهشده را به یاری دو معادله حل کرد: یکی گروهی با M جایگشت خواهد داشت، و دیگری گروهی با N جایگشت.
پس آنگاه که همهٔ تجزیههای سرهٔ ممکن بر گروه یک معادله را به پایان رسانده باشیم، به گروههایی خواهیم رسید که میتوان تبدیلشان کرد، اما شمار جایگشتهایشان همواره همان خواهد ماند.
اگر هر یک از این گروهها شماری اول از جایگشتها داشته باشد، معادله با رادیکالها حلپذیر است؛ وگرنه، نه.
کوچکترین شمار جایگشتهایی که یک گروهِ تجزیهناپذیر میتواند داشته باشد، هرگاه این شمار اول نباشد، ۵·۴·۳ است.
۲. سادهترین تجزیهها آنهاییاند که با روش آقای گاوس انجام میگیرند.
چون این تجزیهها حتی در صورتِ کنونی گروهِ معادله نیز بدیهیاند، درنگِ دراز بر این موضوع بیفایده است.
چه تجزیههایی بر معادلهای که با روش آقای گاوس ساده نمیشود شدنی است؟
معادلاتی را که با روش آقای گاوس ساده نمیشوند اولیه نامیدهام؛ نه از آن رو که این معادلات بهراستی تجزیهناپذیر باشند، چه حتی میتوانند با رادیکالها حل شوند.
به عنوان لم برای نظریهٔ معادلات اولیهٔ حلپذیر با رادیکالها، در ژوئن ۱۸۳۰ در بولتن فروساک تحلیلی دربارهٔ موهومیهای نظریهٔ اعداد منتشر کردهام.
در پیوست، اثبات قضیههای زیر را خواهید یافت:
۱. برای آنکه معادلهای اولیه با رادیکالها حلپذیر باشد، باید از درجهٔ pν باشد، که p عددی اول است.
۲. همهٔ جایگشتهای چنین معادلهای به شکل زیرند
xk,l,m,… | xak+bl+cm+…+h, a′k+b′l+c′m+…+h′, a″k+…, …
که k، l، m، … شمار ν اندیساند که هر یک p مقدار میگیرد و همهٔ ریشهها را نشان میدهند. اندیسها به پیمانهٔ p گرفته میشوند؛ یعنی اگر به یکی از اندیسها مضربی از p افزوده شود، ریشه همان میماند.
گروهی که با اعمالِ همهٔ جانشینیهای این شکلِ خطی به دست میآید، رویهمرفته شامل
pν(pν − 1)(pν − p) … (pν − pν−1)
جایگشت است. اما فاصله بسیار است تا در این کلیّت، معادلاتِ متناظر با آن با رادیکالها حلپذیر باشند.
شرطی که در بولتن فروساک برای حلپذیریِ معادله با رادیکالها نشان دادهام بیش از اندازه تنگ است؛ استثناها اندکاند، اما وجود دارند.
واپسین کاربردِ نظریهٔ معادلات به معادلاتِ مدولارِ توابع بیضوی مربوط است.
میدانیم گروهِ معادلهای که ریشههایش سینوسِ دامنهٔ p² − ۱ تقسیمِ یک دورهاند، چنین است:
xk,l , xak+bl, ck+dl ;
در نتیجه، معادلهٔ مدولارِ متناظر گروهی خواهد داشت به شکل
xk/l , x(ak+bl)/(ck+dl) ,
که در آن k/l میتواند p + ۱ مقدارِ ∞، ۰، ۱، ۲، …، p − ۱ را بگیرد. پس اگر بپذیریم که k میتواند بینهایت باشد، میتوان بهسادگی نوشت
xk , x(ak+b)/(ck+d) .
با دادنِ همهٔ مقدارها به a، b، c، d، تعداد (p + ۱)p(p − ۱) جایگشت به دست میآید.
اما این گروه بهطور سره به دو گروه تجزیه میشود که جانشینیهایشان عبارتاند از
xk , x(ak+b)/(ck+d) ,
که در آن ad − bc ماندهای مربعی به پیمانهٔ p است.
گروهِ بدینسان سادهشده دارای (p + ۱)p(p − ۱)/۲ جایگشت است.
اما بهآسانی دیده میشود که دیگر بهطور سره تجزیهپذیر نیست، مگر آنکه p = ۲ یا p = ۳ باشد.
پس معادله را به هر شیوه که تبدیل کنیم، گروهش همواره همان شمار جایگشت را خواهد داشت.
اما دانستنی است که آیا درجه میتواند پایینتر آید.
نخست آنکه از p پایینتر نمیتواند آمد، زیرا معادلهای با درجهٔ کمتر از p نمیتواند p را به عنوان عامل در شمار جایگشتهای گروهش داشته باشد.
پس ببینیم آیا معادلهٔ درجهٔ p + ۱ — که ریشههایش xk با دادنِ همهٔ مقدارها به k، از جمله بینهایت، نمایانده میشوند و گروهش جانشینیهای زیر را دارد —
xk , x(ak+b)/(ck+d) ,
که ad − bc در آن مربع است، میتواند به درجهٔ p فروکاسته شود. برای این کار لازم است گروه (البته بهطور ناسره) به p گروه، هر یک با (p + ۱)(p − ۱)/۲ جایگشت، تجزیه شود.
فرض کنیم ۰ و ∞ دو حرفِ همنشین در یکی از این گروهها باشند. جانشینیهایی که جای ۰ و ∞ را عوض نمیکنند، به شکل زیر خواهند بود
xk , xm²k .
پس اگر M حرفِ همنشینِ ۱ باشد، حرفِ همنشینِ m²، m²M خواهد بود. هرگاه M مربع باشد، M² = ۱. اما این سادهسازی تنها برای p = ۵ ممکن است.
برای p = ۷ گروهی با (p + ۱)(p − ۱)/۲ جایگشت مییابیم که در آن ∞، ۱، ۲، ۴ به ترتیب حرفهای همنشینِ ۰، ۳، ۶، ۵ را دارند.
جانشینیهای این گروه به شکل زیرند
xk , x(ak−b)/(k−c) ,
که b حرفِ همنشینِ c است، و a حرفی است که همزمان با c مانده یا نامانده است.
برای p = ۱۱، همان جانشینیها با همان نمادها برقرار خواهند بود؛ ∞، ۱، ۳، ۴، ۵، ۹ به ترتیب همنشینهای ۰، ۲، ۶، ۸، ۱۰، ۷ را دارند.
بدینسان، در حالتهای p = ۵، ۷، ۱۱ معادلهٔ مدولار به درجهٔ p فرومیآید. و به تمام معنا، این فروکاست در حالتهای بالاتر ممکن نیست.
رسالهٔ سوم به انتگرالها میپردازد.
میدانیم که مجموعی از جملههای یک تابع بیضویِ واحد همواره به یک جملهٔ واحد فروکاسته میشود، بهاضافهٔ کمیتهایی جبری یا لگاریتمی.
تابع دیگری نیست که این ویژگی برایش برقرار باشد.
اما ویژگیهایی سراسر همانند، در همهٔ انتگرالهای توابع جبری جای آن را میگیرند.
یکجا همهٔ انتگرالهایی بررسی میشوند که دیفرانسیلشان تابعی است از متغیر و از یک تابعِ گنگِ واحد از همان متغیر؛ خواه این گنگ رادیکال باشد یا نه، با رادیکالها بیانشدنی باشد یا نه.
مییابیم که شمار دورههای متمایزِ عامترین انتگرالِ وابسته به یک گنگِ دادهشده همواره عددی زوج است.
اگر این شمار ۲n باشد، قضیهٔ زیر برقرار است: هر مجموعِ دلخواهی از جملهها به n جمله فروکاسته میشود، بهاضافهٔ کمیتهایی جبری و لگاریتمی.
توابع نوع نخست آنهاییاند که بخش جبری و لگاریتمیشان صفر است. از آنها n تای متمایز هست.
توابع نوع دوم آنهاییاند که بخش مکملشان یکسره جبری است. از آنها نیز n تای متمایز هست.
میتوان فرض کرد که دیفرانسیلهای توابع دیگر هرگز جز یک بار — برای x = a — بینهایت نشوند، و افزون بر این، بخش مکملشان به یک لگاریتم واحد، log P، فروکاسته شود که P کمیتی جبری است. اگر این توابع را با Π(x, a) نشان دهیم، قضیهٔ زیر برقرار است
Π(x, a) − Π(a, x) = Σ φa · ψx ,
که φa و ψx توابعی از نوع نخست و دوماند.
از آن نتیجه میشود — اگر Π(a) و ψ را دورههای Π(x, a) و ψx نسبت به یک دورِ واحدِ x بنامیم —
Π(a) = Σ ψ × φa .
بدینسان دورههای توابع نوع سوم همواره برحسب توابع نوع نخست و دوم بیان میشوند.
همچنین میتوان قضیههایی همانند قضیهٔ لژاندر از آن نتیجه گرفت
FE′ + EF′ − FF′ = π/2 .
فروکاستِ توابع نوع سوم به انتگرالهای معیّن — که زیباترین کشف آقای ژاکوبی است — بیرون از حالتِ توابع بیضوی شدنی نیست.
ضربِ توابع انتگرالی در یک عدد صحیح، همچون جمع، همواره ممکن است؛ به یاری معادلهای از درجهٔ n که ریشههایش مقدارهاییاند که باید در انتگرال جایگذاری شوند تا جملههای فروکاسته به دست آیند.
معادلهای که تقسیمِ دورهها به p بخشِ برابر را به دست میدهد از درجهٔ p2n − ۱ است. گروه آن رویهمرفته دارای
(p2n − 1)(p2n − p) … (p2n − p2n−1)
جایگشت است. معادلهای که تقسیمِ مجموعی از n جمله به p بخش برابر را به دست میدهد از درجهٔ p2n است؛ و با رادیکالها حلپذیر است.
در بابِ تبدیل. — نخست میتوان، با استدلالهایی همانند آنچه آبل در واپسین رسالهاش آورده، ثابت کرد که اگر در یک رابطهٔ واحد میان انتگرالها دو تابعِ زیر را داشته باشیم
∫ Φ(x, X) dx , ∫ Ψ(y, Y) dy ,
— که انتگرال دومی ۲n دوره دارد — میتوان فرض کرد که y و Y به یاری یک معادلهٔ واحد از درجهٔ n برحسب x و X بیان شوند.
بنا بر این میتوان فرض کرد که تبدیلها همواره تنها میان دو انتگرال رخ دهند، زیرا آشکارا، با گرفتنِ هر تابع گویای دلخواهی از y و Y، خواهیم داشت
Σ ∫ f(y, Y) dy = ∫ F(x, X) dx + une quant. alg. et log.
هرگاه انتگرالهای دو سویِ این معادله هر دو شمارِ دورههای یکسان نمیداشتند، سادهسازیهایی آشکار بر آن ممکن میبود.
پس تنها انتگرالهایی را باید با هم بسنجیم که هر دو شمار دورههای یکسان دارند.
ثابت خواهد شد که کوچکترین درجهٔ گنگیِ دو انتگرالِ چنین، برای یکی نمیتواند بزرگتر از دیگری باشد.
سپس نشان داده خواهد شد که هر انتگرال دادهشده را همواره میتوان به انتگرالی دیگر تبدیل کرد که در آن یکی از دورههای اولی بر عدد اول p تقسیم شده و ۲n − ۱ دورهٔ دیگر همان ماندهاند.
پس تنها میماند سنجشِ انتگرالهایی که دورههایشان در دو سو یکسان است؛ چنانکه n جملهٔ یکی، بی هیچ معادلهای جز یک معادلهٔ واحد از درجهٔ n، برحسب جملههای دیگری بیان میشوند، و برعکس. اینجا هیچ نمیدانیم.
میدانی، اوگوستِ عزیزم، که اینها یگانه موضوعهایی نیستند که کاویدهام. مدتی است اندیشههای اصلی من متوجهِ کاربستِ نظریهٔ ابهام در آنالیز استعلایی بوده است. سخن بر سر آن بود که از پیش ببینیم، در رابطهای میان کمیتها یا توابع استعلایی، چه مبادلههایی میتوان کرد، چه کمیتهایی را میتوان بهجای کمیتهای دادهشده نشاند، بیآنکه رابطه از میان برود. این کار ناممکنبودنِ بسیاری از عبارتهایی را که ممکن است در پیشان باشیم بیدرنگ آشکار میکند. اما وقت ندارم، و اندیشههایم در این قلمرو — که بیکران است — هنوز چنانکه باید پرورده نیست.
این نامه را در Revue encyclopédique به چاپ خواهی رساند.
در زندگی بارها به خود جرأت دادهام گزارههایی پیش نهم که از آنها مطمئن نبودم؛ اما هر چه اینجا نوشتهام نزدیک به یک سال است که در سرِ من است، و بیش از آن به سودِ من است که خطا نکنم، تا کسی گمان بَرَد قضیههایی را اعلام کردهام که اثبات کاملشان را در دست ندارم.
از ژاکوبی یا گاوس در برابر همگان خواهی خواست که نظرشان را بگویند؛ نه دربارهٔ درستی، که دربارهٔ اهمیتِ این قضیهها.
پس از آن، امیدوارم کسانی پیدا شوند که سودِ خود را در گشودنِ این آشفتهبازار بیابند.
تو را با همهٔ وجود در آغوش میفشارم.
ا. گالوا.
۲۹ مهٔ ۱۸۳۲.
[۱] نوشتهشده در شبِ پیش از مرگِ نویسنده. (در سال ۱۸۳۲ در Revue encyclopédique، شمارهٔ سپتامبر، صفحهٔ ۵۶۸ درج شد.) — (ژ. لیوویل)
[۲] گالوا از دستنوشتههایی سخن میگوید که تا کنون منتشر نشده بودند و ما اکنون منتشرشان میکنیم. — (ژ. لیوویل)